微分几何学 Wei fen ji he xue

前言 1 目录 3 目录 8 绪论 8 第一章曲线论 10 §1．挠曲线的解析表示 10 1．切线 12 2．曲线弧 12 3．曲率 15 4．密切平面 16 习题 17 §2．Frenet公式 18 习题 23 §3．自然方程 23 1．基本定理 24 2．存在定理 25 习题 30 §4．规范展开活动标架 30 1．Bouquet公式 30 2．Cesàro恒等条件 33 习题 37 §5．密切圆密切球 37 习题 40 §6．曲线弧长的第一变分 41 §7．平面曲线等周问题 43 1．平面曲线 43 习题 43 2．卵形线 44 3．等周问题 48 Crone及Frobenius定理 49 Hurwitz的证明 51 §8．特殊挠曲线 55 1．一般螺线 55 2．Bertrand曲线 58 3．Mannheim曲线 62 §9．极小曲线 63 1．自然参数 63 2．基本定理 65 3．极小曲线的方程 68 习题 69 §10．曲线的整体性质 70 1．四顶点定理 70 2．Fenchel定理 72 习题 74 §11．可展曲面 76 1．直纹面 76 2．Cesàro曲线 78 3．渐缩线及渐伸线 79 习题 81 §12．Darboux方法 81 总习题 83 第二章曲面论 85 §13．基本形式 85 1．第一基本形式曲面的线素 85 2．曲面的法线和切平面 89 3．第二基本形式 91 习题 92 §14．极小曲线渐近曲线 93 1．极小曲线 93 2．渐近曲线 95 3．共轭曲线网 97 §15．曲面上曲线的曲率 99 1.法曲率 99 2．Meusnier定理 100 3．总曲率平均曲率 101 4．Euler定理Dupin标线 102 习题 104 §16．曲率线 105 1．曲率线的新定义 105 2．Darboux定理 108 3．曲率线的又一个定义 109 习题 111 §17．测地挠率 114 习题 117 §18．两曲面之间的保角对应 118 1.保角对应 118 2．地图的制法 122 3．Liouville定理 125 习题 130 §19.Gauss的球面表示 132 1.第三基本形式Weingartea公式 132 2．Gauss定理 134 3．Beltrami-Ennepre定理 135 习题 135 §20．Beltrami的微分参数 136 1．代数学的一个定理 136 2．Beltrami的第一阶微分参数 138 3．Beltrami的第二阶微分参数 140 习题 144 §21．测地线 145 1．测地线的定义 145 2．测地曲率 148 3．测地线坐标 151 4．O．Bonnet公式 152 5．Liouville公式 153 6．求测地线的Darboux方法 155 习题 158 §22．两曲面间的测地线对应 160 1．Beltrami定理 160 2．Dini定理 166 习题 170 §23．曲面上的几何学 170 1．Gauss曲率K 170 2．测地线 173 3．关于测地线三角形的Gauss定理 175 4．测地线离差 177 5．Gauss-Bonnet公式 178 6．Levi-Civita的平行移动概念 184 习题 190 §24．常总曲率的曲面与非欧几何学 192 1．Poincaré上半平面的表示 192 2．非欧几何学 197 习题 202 §25．绝对微分学 204 1．简史 204 2．张量 205 3．测地线的微分方程 210 4．Levi-Civita的平行移动 213 5．Christoffel的共变微分 217 6．Riemann的曲率张量 220 7．沿无穷小平行四边形的循环移动 224 习题 226 §26．曲面论基本方程 228 1．关于曲面线素的Christoffel记号 228 2．基本微分方程 230 3．可积分条件 231 习题 235 §27．基本定理 238 习题 242 §28．曲面变形论 243 1．定义 243 2．变形论第一问题 244 3．变形论第二问题 250 习题 257 §29．极小曲面 259 1．简史 259 2．Weierstrass公式 261 3．Schwarz公式 266 4．附属极小曲面 272 5．单侧极小曲面 273 6．Plateau问题 275 7．曲率线都是平面曲线的极小曲面 281 习题 283 §30．W曲面 285 1．定义及基本量 285 2．1W曲面的一个特征 290 习题 293 §31．用运动学讨论曲面的方法 293 1.运动学初步公式 293 2．应用 297 3．曲率线法曲率测地曲率及Laguerre定理 299 4．曲面的基本方程 303 5．Beltrami定理与Bonnet定理 307 总习题 311 第三章线汇论 313 §32.直纹面 313 1.一些重要元素 313 2．一些定理 316 3．Minding关于直纹面变形的研究 319 4．Beltrami关于直纹面变形的研究 320 5．Bonnet定理 323 习题 324 §33.直线汇的Kummer表示法 325 1.简史 325 2．Kummer的基本形式 326 3．Malus与Dupin定理 327 §34．直线汇的附属元素 330 1.可展曲面 330 2．二叶焦曲面及中点曲面 332 3．极限点 334 §35.Sannia的理论 338 1.Sannia的基本形式 338 2．基本定理 340 习题 343 §36.Study的推移原理 345 1.对偶数与直线坐标 345 2．对偶点与Sannia的基本形式 347 习题 350 §37．导来直线汇 350 1．定义 350 2．分析表示 351 习题 353 §38．主要曲面和可展曲面的球面表示 354 1．主要曲面 354 2．可展曲面 357 §39．极小线汇 357 1．定义 357 2．极小直线汇的性质 359 §40．Guichard直线汇 362 1．定义 362 2．Guichard线汇与Voss曲面 363 §41．W直线汇 365 1．定义 365 2．Lelieuvre公式 366 3．W直线汇的决定 368 §42．圆汇与曲线汇 371 1.Ribaucour定理 371 2．法圆汇 372 3．拟球与法圆汇 377 总习题 380