吴军数学通识讲义 = Lectures on general mathematics

1 (p1): 总序 9 (p2): 前言 22 (p3): 基础篇 22 (p3-1): 第1章 理解数学的线索:从毕达哥拉斯讲起 22 (p3-1-1): 1.1勾股定理:为什么在西方叫毕达哥拉斯定理 30 (p3-1-2): 1.2数学的预见性:无理数是毕达哥拉斯定理的推论 36 (p3-1-3): 1.3数学思维:如何从逻辑出发想问题 45 (p3-1-4): 1.4黄金分割:数学和美学的桥梁 58 (p3-1-5): 1.5优选法:华罗庚化繁为简的神来之笔 70 (p3-2): 第2章 数列与级数:承上启下的关键内容 70 (p3-2-1): 2.1数学的关联性:斐波那契数列和黄金分割 75 (p3-2-2): 2.2数列变化:趋势比当下重要 79 (p3-2-3): 2.3级数:传销骗局里的数学原理 92 (p3-2-4): 2.4等比级数:少付一半利息,多获得一倍回报 104 (p3-3): 第3章 数学边界:数学是万能的吗 104 (p3-3-1): 3.1数学的局限性:从勾定理到费马大定理 108 (p3-3-2): 3.2探寻数学的边界:从希尔伯特第十问题讲起 116 (p4): 数字篇 116 (p4-1): 第4章 方程:新方法和新思维 116 (p4-1-1): 4.1鸡兔同笼问题:方程这个工具有什么用 126 (p4-1-2): 4.2一元三次方程的解法:数学史上著名的发明权之争 135 (p4-1-3): 4.3虚数:虚构的工具有什么用 143 (p4-2): 第5章 无穷大和无穷小:从数值到趋势 143 (p4-2-1): 5.1无穷大:为什么我们难以理解无限大的世界 149 (p4-2-2): 5.2无穷小:芝诺悖论和它的破解 156 (p4-2-3): 5.3第二次数学危机:牛顿和贝克莱的争论 163 (p4-2-4): 5.4极限:重新审视无穷小的世界 171 (p4-2-5): 5.5动态趋势:无穷大和无穷小能比较大小吗 186 (p5): 几何篇 186 (p5-1): 第6章 基础几何学:公理化体系的建立 186 (p5-1-1): 6.1几何学的起源:为什么几何学是数学中最古老的分支 194 (p5-1-2): 6.2公理化体系:几何学的系统理论从何而来 205 (p5-2): 第7章 几何学的发展:开创不同数学分支融合的先河 205 (p5-2-1): 7.1非欧几何:换一条公理,几何学会崩塌吗 214 (p5-2-2): 7.2圆周率:数学工具的意义 221 (p5-2-3): 7.3解析几何:如何用代数的方法解决几何问题 232 (p5-2-4): 7.4体系的意义:为什么几何能为法律提供理论基础 244 (p6): 代数篇 244 (p6-1): 第8章 函数:重要的数学工具 244 (p6-1-1): 8.1定义和本质:从静态到动态,从数量到趋势 253 (p6-1-2): 8.2因果关系:决定性和相关性的差别 262 (p6-2): 第9章 线性代数:超乎想象的实用工具 262 (p6-2-1): 9.1向量:数量的方向与合力的形成 278 (p6-2-2): 9.2余弦定理:文本分类与简历筛选 284 (p6-2-3): 9.3矩阵:多元思维的应用 300 (p7): 微积分篇 300 (p7-1): 第10章 微分:如何理解宏观和微观的关系 300 (p7-1-1): 10.1导数:揭示事物变化的新规律 307 (p7-1-2): 10.2微分:描述微观世界的工具 312 (p7-1-3): 10.3奇点:变化连续和光滑是稳定性的基础 323 (p7-2): 第11章 积分:从微观变化了解宏观趋势 323 (p7-2-1): 11.1积分:微分的逆运算 327 (p7-2-2): 11.2积分的意义:从细节了解全局 333 (p7-2-3): 11.3最优化问题:用变化的眼光看最大值和最小值 342 (p7-2-4): 11.4发明权之争:牛顿和莱布尼茨各自的贡献 348 (p7-2-5): 11.5体系的完善:微积分公理化的过程 364 (p8): 概率和数理统计篇 364 (p8-1): 第12章 随机性和概率论:如何看待不确定性 364 (p8-1-1): 12.1概率论:一门来自赌徒的学问 366 (p8-1-2): 12.2古典概率:拉普拉斯对概率的系统性论述 371 (p8-1-3): 12.3伯努利试验:随机性到底意味着什么 378 (p8-1-4): 12.4均值与方差:理想与现实的差距 386 (p8-2): 第13章 小概率和大概率:如何资源共享和消除不确定性 386 (p8-2-1): 13.1.泊松分布:为什么保险公司必须有很大的客户群 393 (p8-2-2): 13.2高斯分布:大概率事件意味着什么 404 (p8-2-3): 13.3概率公理化:理论和现实的统一 415 (p8-3): 第14章 前提条件:度量随机性的新方法 415 (p8-3-1): 14.1前提条件:条件对随机性的影响 421 (p8-3-2): 14.2差异:概率、联合概率和条件概率 430 (p8-3-3): 14.3相关性:条件概率在信息处理中的应用 433 (p8-3-4): 14.4贝叶斯公式:机器翻译是怎样工作的 442 (p8-4): 第15章 统计学和数据方法:准确估算概率的前提 442 (p8-4-1): 15.1定义:什么是统计学 446 (p8-4-2): 15.2实践:怎样做好统计 450 (p8-4-3): 15.3古德-图灵折扣估计:如何防范黑天鹅事件 459 (p8-4-4): 15.4换个眼光看世界:概率是一种世界观,统计是一种方法论 468 (p9): 终篇 468 (p9-1): 第16章 数学在人类知识体系中的位置 468 (p9-1-1): 16.1数学和哲学:一头一尾的两门学科 474 (p9-1-2): 16.2数学和自然科学:数学如何改造自然科学 480 (p9-1-3): 16.3数学和逻辑学:为什么逻辑是一切的基础 486 (p9-1-4): 16.4数学和其他学科:为什么数学是更底层的工具 493 (p9-1-5): 16.5未来展望:希尔伯特的讲演 497 (p10): 附录 497 (p10-1): 附录1 黄金分割等于多少 498 (p10-2): 附录2 为什么斐波那契数列相邻两项的比值收敛于黄金分割 500 (p10-3): 附录3 等比级数求和算法 501 (p10-4): 附录4 一元N次方程xN=1的解 503 (p10-5): 附录5 积分的其他两种计算方法 505 (p10-6): 附录6 大数定律 507 (p10-7): 附录7 希尔伯特退休讲演的英文译文