微积分. 上册

微积分 同济大学(上册) 2009 1 书名 1 目录 6 预备知识 10 一、集合 10 二、映射 13 三、一元函数 15 习题 26 第一章 极限与连续 28 第一节 微积分中的极限方法 29 第二节 数列的极限 33 一、数列极限的定义 33 二、数列极限的性质 38 习题1-2 40 第三节 函数的极限 40 一、函数极限的定义 41 二、函数极限的性质 47 习题1-3 49 第四节 极限的运算法则 50 一、无穷小与无穷大 50 二、极限的运算法则 54 习题1-4 58 第五节 极限存在准则与两个重要极限 58 一、夹逼准则 59 二、单调有界收敛准则 62 习题1-5 66 第六节 无穷小的比较 66 一、无穷小的比较 67 二、等价无穷小 69 习题1-6 72 第七节 函数的连续性与连续函数的运算 72 一、函数的连续性 72 二、函数的间断点 75 三、连续函数的运算 77 习题1-7 79 第八节 闭区间上连续函数的性质 80 一、最大值最小值定理 80 二、零点定理与介值定理 81 习题1-8 84 总习题一 85 第二章 一元函数微分学 88 第一节 导数的概念 89 一、导数概念的引出 89 二、导数的定义 90 三、函数的可导性与连续性的关系 94 习题2-1 95 第二节 求导法则 96 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 96 二、反函数的导数 100 三、复合函数的导数 102 习题2-2 105 第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 107 一、隐函数的导数 107 二、由参数方程确定的函数的导数 111 三、相关变化率 113 习题2-3 115 第四节 高阶导数 116 习题2-4 120 第五节 函数的微分与函数的线性逼近 121 一、微分的定义 121 二、微分公式与运算法则 123 三、微分的意义与应用 125 习题2-5 129 第六节 微分中值定理 129 习题2-6 135 第七节 泰勒公式 136 习题2-7 142 第八节 洛必达法则 143 一、0/0未定式 143 二、∞/∞未定式 145 三、其他类型的未定式 146 习题2-8 148 第九节 函数单调性与曲线凹凸性的判别法 149 一、函数单调性的判别法 149 二、曲线的凹凸性及其判别法 152 习题2-9 158 第十节 函数的极值与最大、最小值 159 一、函数的极值及其求法 159 二、最大值与最小值问题 162 习题2-10 166 第十一节 曲线的曲率 168 一、平面曲线的曲率概念 168 二、曲率公式 169 习题2-11 173 第十二节 一元函数微分学在经济中的应用 173 总习题二 176 第三章 一元函数积分学 180 第一节 不定积分的概念及其性质 181 一、原函数和不定积分的概念 181 二、基本积分表 183 三、不定积分的性质 184 习题3-1 186 第二节 不定积分的换元积分法 186 一、不定积分的第一类换元法 186 二、不定积分的第二类换元法 191 习题3-2 194 第三节 不定积分的分部积分法 195 习题3-3 198 第四节 有理函数的不定积分 199 习题3-4 204 第五节 定积分 204 一、定积分问题举例 204 二、定积分的定义 207 三、定积分的性质 210 习题3-5 214 第六节 微积分基本定理 214 一、积分上限的函数及其导数 215 二、牛顿-莱布尼茨公式 216 习题3-6 221 第七节 定积分的换元法与分部积分法 222 一、定积分的换元法 222 二、定积分的分部积分法 227 习题3-7 229 第八节 定积分的几何应用举例 230 一、平面图形的面积 231 二、体积 236 三、平面曲线的弧长 239 习题3-8 245 第九节 定积分的物理应用举例 246 一、作功 246 二、水压力 248 三、引力 249 习题3-9 250 第十节 平均值 250 一、函数的算术平均值 251 二、函数的加权平均值 252 三、函数的均方根平均值 253 习题3-10 254 第十一节 反常积分 255 一、无穷限的反常积分 255 二、无界函数的反常积分 258 三、г函数 261 习题3-11 263 总习题三 264 第四章 微分方程 268 第一节 微分方程的基本概念 269 习题4-1 272 第二节 可分离变量的微分方程 272 习题4-2 279 第三节 一阶线性微分方程 280 习题4-3 284 第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程 284 一、齐次型方程 284 二、可化为齐次型的方程 287 三、伯努利方程 289 习题4-4 290 第五节 可降阶的二阶微分方程 291 一、y′′=f(x)型的微分方程 291 二、y′′=f(x,y′)型的微分方程 291 三、y′′=f(y,y′)型的微分方程 292 四、可降阶二阶微分方程的应用举例 293 习题4-5 297 第六节 线性微分方程解的结构 298 习题4-6 301 第七节 二阶常系数线性微分方程 302 一、二阶常系数齐次线性微分方程 302 二、二阶常系数非齐次线性微分方程 306 三、二阶常系数线性微分方程的应用举例 310 习题4-7 316 第八节 高阶变系数线性微分方程解法举例 317 一、解二阶变系数线性微分方程的常数变易法 317 二、解欧拉方程的指数代换法 318 习题4-8 319 总习题四 320 实验 323 实验1 数列极限与生长模型 323 实验2 泰勒公式与函数逼近 327 实验3 方程近似解的求法 330 实验4 定积分的近似计算 335 附录 340 附录一 数学软件Mathematica简介 340 附录二 几种常用的曲线 349 习题答案与提示 352 记号说明 373 微积分 同济大学(下册) 2010 375 书名 375 目录 378 第五章 向量代数与空间解析几何 382 第一节 向量及其线性运算 383 一、向量概念 383 二、向量的加法与数乘运算 384 习题5-1 388 第二节 点的坐标与向量的坐标 388 一、空间直角坐标系 388 二、向量的坐标及向量线性运算的坐标表示 390 三、向量的模、方向角和投影 393 习题5-2 395 第三节 向量的乘法运算 396 一、向量的数量积(点积、内积) 396 二、向量的向量积(叉积、外积) 399 三、向量的混合积 402 习题5-3 404 第四节 平面 405 一、平面的方程 405 二、两平面的夹角以及点到平面的距离 408 习题5-4 410 第五节 直线 411 一、直线的方程 411 二、两直线的夹角、直线与平面的夹角 413 三、过直线的平面束 415 习题5-5 416 第六节 曲面与曲线 417 一、柱面与旋转曲面 417 二、空间曲线的方程 420 三、空间曲线在坐标面上的投影 422 习题5-6 424 第七节 二次曲面 425 一、二次曲面的方程与图形 425 二、曲面的参数方程及其计算机作图法 430 习题5-7 433 总习题五 434 第六章 多元函数微分学 436 第一节 多元函数的基本概念 437 一、多元函数 437 二、Rn中的线性运算、距离及重要子集 438 三、多元函数的极限 441 四、多元函数的连续性 443 习题6-1 444 第二节 偏导数 444 一、偏导数 444 二、高阶偏导数 448 习题6-2 450 第三节 全微分 451 习题6-3 456 第四节 复合函数的求导法则 456 习题6-4 462 第五节 隐函数的求导公式 463 一、一个方程的情形 463 二、方程组的情形 467 习题6-5 470 第六节 方向导数与梯度 471 一、方向导数 471 二、梯度 473 习题6-6 476 第七节 多元函数微分学的几何应用 477 一、空间曲线的切线与法平面 477 二、曲面的切平面与法线 480 三、等量面与等高线 483 习题6-7 484 第八节 多元函数的极值 486 一、极大值与极小值 486 二、条件极值 488 习题6-8 493 总习题六 494 第七章 重积分 497 第一节 重积分的概念与性质 498 一、重积分的概念 498 二、重积分的性质 502 习题7-1 503 第二节 二重积分的计算 504 一、利用直角坐标计算二重积分 504 习题7-2(1) 509 二、利用极坐标计算二重积分 510 习题7-2(2) 515 三、二重积分的换元法 515 习题7-2(3) 520 第三节 三重积分的计算 521 一、利用直角坐标计算三重积分 521 二、利用柱面坐标计算三重积分 524 三、利用球面坐标计算三重积分 526 习题7-3 529 第四节 重积分应用举例 530 一、体积 530 二、曲面的面积 532 三、质心和转动惯量 535 四、引力 538 习题7-4 540 总习题七 541 第八章 曲线积分与曲面积分 543 第一节 数量值函数的曲线积分(第一类曲线积分) 544 一、第一类曲线积分的概念 544 二、第一类曲线积分的计算法 546 习题8-1 550 第二节 数量值函数的曲面积分(第一类曲面积分) 551 一、第一类曲面积分的概念 551 二、第一类曲面积分的计算法 552 三、数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述 555 习题8-2 558 第三节 向量值函数在定向曲线上的积分(第二类曲线积分) 559 一、第二类曲线积分的概念 559 二、第二类曲线积分的计算法 563 习题8-3 567 第四节 格林公式 569 一、格林公式 569 二、平面定向曲线积分与路径无关的条件 573 三、曲线积分基本定理 579 习题8-4 579 第五节 向量值函数在定向曲面上的积分(第二类曲面积分) 581 一、第二类曲面积分的概念 581 二、第二类曲面积分的计算法 585 习题8-5 590 第六节 高斯公式与散度 590 一、高斯公式 590 二、散度 593 习题8-6 594 第七节 斯托克斯公式与旋度 595 一、斯托克斯公式 595 二、旋度 599 三、向量微分算子 602 习题8-7 603 总习题八 604 第九章 无穷级数 607 第一节 常数项级数的概念与基本性质 608 一、基本概念 608 二、无穷级数的基本性质 610 习题9-1 612 第二节 正项级数及其审敛法 613 习题9-2 620 第三节 绝对收敛与条件收敛 621 一、交错级数及其审敛法 621 二、级数的绝对收敛与条件收敛 624 习题9-3 629 第四节 幂级数 629 一、函数项级数的一般概念 629 二、幂级数及其收敛性 631 三、幂级数的运算与性质 635 习题9-4 639 第五节 函数的泰勒级数 639 一、泰勒级数的概念 639 二、函数展开成幂级数的方法 642 习题9-5 649 第六节 函数的幂级数展开式的应用 650 一、近似计算 650 二、欧拉公式 653 三、微分方程的幂级数解法 655 习题9-6 657 第七节 傅里叶级数 658 一、周期运动和三角级数 658 二、函数展开成傅里叶级数 660 习题9-7 666 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 667 一、周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 667 二、正弦级数与余弦级数 669 三、傅里叶级数的复数形式 673 习题9-8 675 总习题九 676 实验 680 实验1 鲨鱼袭击目标的前进途径 680 实验2 最小二乘法 686 实验3 无穷级数与函数逼近 690 附录 矩阵与行列式简介 695 习题答案与提示 700