長岡亮介 線型代数入門講義: 現代数学の“技法”と“心”

まえがき 目次 第1章 ベクトルの基本概念 §1.1 R^2 §1.2 ベクトルのもつ代数構造 §1.3 ベクトルの幾何学的応用 §1.4 R^3 §1.5 R^3 での共面条件 §1.6 R^3 から R^n へ §1.7 R^n の正規直交基底 【1章の復習問題】 A 第2章 行列の基本概念 §2.1 R^m の基底 §2.2 連立1次方程式と行列の起源 §2.3 行列の基礎概念 §2.4 行列の演算(加法, スカラー倍, 転置) §2.5 ブロック分割 §2.6 行列の立場から見た加減法のプロセス―掃き出し法 【2章の復習問題】 A 第3章 逆行列の概念,正則行列の概念 §3.1 行列の積の定義 §3.2 行列の積の性質 §3.3 行列の積についての際立った性質—非可換性 §3.4 単位行列 §3.5 逆行列,正則性 【3章の復習問題】 A 第4章 連立1次方程式 §4.1 変形とその表現 §4.2 行列の基本変形の数学的な表現—基本行列 §4.3 行基本変形と基本行列 §4.4 列基本変形と基本行列 §4.5 行列の基本変形と連立方程式の解法 【4章の復習問題】 A 第5章 階数 (rank) の概念 §5.1 階数 (rank) の概念 §5.2 階数の概念から見た連立1次方程式 【5章の復習問題】 A 第6章 行列式に向けて §6.1 置換とは §6.2 置換の積 §6.3 置換の表現 §6.4 置換全体の構造―n次対称群 §6.5 置換の分類 【6章の復習問題】 A 第7章 行列式の概念とその計算 §7.1 行列式の起源 §7.2 置換の符号と行列式の定義 §7.3 特別な行列の行列式 §7.4 行列式の基本性質(1)―転置不変性 §7.5 行列式の基本性質(2)―交代性 §7.6 行列式の基本性質(3)―多重線型性 【7章の復習問題】 A 第8章 余因子行列の概念 §8.1 行列式の implicit な定義と行列式の幾何学的意味 §8.2 その他の行列式の重要な性質 §8.3 行列式の展開と余因子 §8.4 行列と行列式 §8.5 連立1次方程式と行列式 【8章の復習問題】 A 第9章 線形空間の基本概念 §9.1 線型空間の定義 §9.2 部分空間 §9.3 線型独立性, 線型従属性 §9.4 生成する空間 §9.5 基底と次元 【9章の復習問題】 A 第10章 線形空間の発展的概念 §10.1 計量線形空間 §10.2 正規直交基底 【10章の復習問題】 A 第11章 線形写像,線形変換の諸概念 §11.1 線型写像の概念 §11.2 線型写像の例 §11.3 線型写像の性質, 部分空間 §11.4 同型写像 §11.5 像,核の次元 §11.6 数ベクトル空間上の線型写像 §11.7 線型空間の基底とベクトルの成分表示 §11.8 線型写像の表現 §11.9 線型写像の重要な具体例 §11.10 双対空間 【11章の復習問題】 A 第12章 線形写像の表現の単純化―基底の取り替え §12.1 基底の取り替え行列 §12.2 基底の取り替えによる行列の変化 §12.3 実用的な場合の考察 【12章の復習問題】 A 第13章 不変部分空間から固有ベクトルへ §13.1 部分空間の和 §13.2 直和分解 §13.3 不変部分空間 §13.4 不変部分空間への直和分解 §13.5 1次元不変部分空間 【13章の復習問題】 A 第14章 固有値,固有ベクトルと行列の対角化 §14.1 固有値,固有ベクトル,固有空間の概念 §14.2 固有ベクトルによる対角化の具体例 §14.3 数ベクトル空間での固有値,固有ベクトル §14.4 異なる固有値に属す固有ベクトル §14.5 固有値が重解(重根)になる場合 §14.6 対角化可能であるための必要十分条件 【14章の復習問題】 A 第15章 複素行列の世界 §15.1 ユニタリ行列とエルミート行列 §15.2 エルミート行列(対称行列)の対角化 §15.3 三角化 【15章の復習問題】 A 第16章 対角化の応用(1) ―2次形式― §16.1 2次同次式 §16.2 2次同次式の標準化 §16.3 いろいろな2次曲線 §16.4 いろいろな2次曲面 【16章の復習問題】 A 第17章 対角化の応用(2) ―微分方程式,差分方程式― §17.1 線型微分方程式 §17.2 具体的な微分方程式の解法 §17.3 線型漸化式の解法 §17.4 線型微分方程式と線型漸化式 【17章の復習問題】 A 第18章 ジョルダンの標準形(1) §18.1 対角化に代わる "準対角化" §18.2 行列多項式 §18.3 フロベニウスの定理,ハミルトン・ケイリーの定理 §18.4 行列の級数 【18章の復習問題】 A 第19章 ジョルダンの標準形(2) §19.1 冪零行列 §19.2 冪零行列とそのジョルダンの標準形 §19.3 最も基本的な行列のジョルダンの標準形 §19.4 広義固有空間 §19.5 ジョルダンの標準形(一般の場合) §19.6 ジョルダンの標準形への変形の具体例 §19.7 線型の世界,非線型の世界 19.7.1 ジョルダンの標準形の応用 19.7.2 線型代数の応用―線型計画法 【19章の復習問題】 A 復習問題略解 索引