曲面の幾何構造とモジュライ

はじめに 第1章 幾何構造の基礎概念 1 2点間の距離を測る 1.1 平面の2点間の距離と点列の収束 1.2 球面上の距離と測地線 1.3 円柱上の距離,局所ユークリッド幾何構造 1.4 一般的な距離空間の定義 1.5 双曲距離 演習問題 2 距離を保つ変換 2.1 ユークリッド平面における等長変換 2.2 ポアンカレ円板の測地線 2.3 鏡映変換と反転 2.4 双曲平面の等長変換の分類 演習問題 3 不連続群と軌道空間 3.1 軌道空間としてのトーラス 3.2 等長変換の不連続な作用 3.3 軌道空間の幾何構造 3.4 局所ユークリッド曲面 3.5 フックス群,局所双曲幾何構造 演習問題 4 リーマン計量から見た幾何構造 4.1 曲線の長さ 4.2 ポアンカレ円板の双曲計量 4.3 反転と双曲計量 4.4 最短経路としての測地線 4.5 上半平面の幾何 4.6 トーラスのモジュライ空間 演習問題 5 双曲平面の初等幾何とローレンツ変換 5.1 ミンコフスキー空間におけるベクトル積 5.2 双曲平面の三角法 5.3 非ユークリッド幾何学のモデル 5.4 双曲平面の直角6角形 5.5 双曲平面とローレンツ変換 演習問題 6 完備な幾何構造と被覆面の構成 6.1 幾何構造の概念の定式化 6.2 位相のことばから 6.3 完備な幾何構造 6.4 キリング-ホップの定理 6.5 ユークリッド平面球面の場合 6.6 被覆面の定義 演習問題 7 曲面の多角形表示と位相同形による分類 7.1 コンパクト性の概念 7.2 ディリクレ領域 7.3 コンパクト曲面の多角形表示 7.4 位相同形とは 7.5 コンパクト双曲曲面の位相同形による分類 7.6 オイラー標数と面積 演習問題 8 一次分数変換とモジュラー群 8.1 一次分数変換,複比など 8.2 モジュラー群とその部分群 演習問題 第2章 曲面のリーマン幾何から 1 空間内の間面の幾何 1.1 3次元空間内の曲面の計量 1.2 微分形式と面積要素 1.3 ガウス写像,ガウス曲率 1.4 負の定曲率をもつ曲面 1.5 ガウス曲率と2次形式 1.6 測地線の方程式と共変微分 演習問題 2 ガウス-ボンネの定理 2.1 微分形式と写像度 2.2 曲面の構造方程式 2.3 ガウス-ボンネの定理の証明 2.4 ベクトル場とオイラー標数 演習問題 3 リーマン多様体の概念 3.1 リーマン計量から出発すると 3.2 局所座標のはりあわせ 3.3 多様体上のベクトル場,微分形式など 3.4 リーマン多様体上の平行移動 演習問題 4 射影平面のモデル 4.1 曲面の埋め込みとはめこみ 4.2 ローマン曲面 4.3 ローマン曲面からボーイ曲面へ 演習問題 第3章 ポアンカレの定理とタイルばり 1 ポアンカレの定理とタイルばり 1.1 タイルばりとその対称性 1.2 群を目でみる―ケーリーグラフ 1.3 基本領域のみたす辺と角度の条件 1.4 ポアンカレの定理の証明 1.5 シュバルツの3角形群 1.6 クラインの種数3の曲面 1.7 双曲型オービフォールドの面積 演習問題 2 オービフォールドの特異点解消 2.1 オービフォールドと分岐被覆 2.2 双曲型オービフォールドの存在条件 2.3 オービフォールドの幾何構造の存在 2.4 分岐被覆による特異点解消の基本操作 2.5 有限次の分岐被覆による特異点解消 2.6 命題の証明と補足 第4章 モジュライ空間の幾何 1 曲面上の曲線の幾何 1.1 ホモトピーとそのリフト 1.2 双曲型変換としての基本群 1.3 ホモトピーによる測地線への変形 2 フェンチェル-ニールセン座標 2.1 再び曲面の基本群 2.2 タイヒミュラー空間 2.3 曲面のパンツ分解 2.4 フェンチェル-ニールセン座標の導入 2.5 距離関数の凸性 2.6 定理の証明 2.7 モジュライ空間のコンパクト化 3 タイヒミュラー空間のセル分割 3.1 双曲幾何構造により決まる曲面の分割 3.2 抽象複体から多面体へ 3.3 ハラーの複体 3.4 写像Φ:T^1_g → IAI \ IA_∞| の構成 3.5 双曲幾何構造の構成 4 基本群の表現空間 4.1 基本群のホロノミー表現と局所系のホモロジー 4.2 基本群の表現と局所系 4.3 ホモロジー論から 4.4 局所系を係数とするホモロジー 4.5 局所系を係数とするコホモロジー 4.6 群のコホモロジー 4.7 接空間と1次元コホモロジー 5 モジュライ空間のシンプレクティック幾何 5.1 曲面上の曲線の交叉数 5.2 ハミルトン系への短い入門 5.3 共役不変な関数の微分 5.4 タイヒミュラー空間のシンプレクティック構造 5.5 ウォルパートの公式 文献案内 文献リスト 索引