広がりゆくトポロジーの世界 : 言語としてのホモトピー論

はじめに 目次 1. トポロジーとは何か? 1.1 トポロジーの進む道 1.2 トポロジーの視点 2. ホモロジーのアイデア 2.1 球面とトーラスの違い 2.2 Poincaré のアイデア 2.3 様々なホモロジー 3. ファイバー束とホモトピー 3.1 ファイバー束 3.2 被覆ホモトピー定理 3.3 ファイブレーション 4. 分類空間について 4.1 Milnor の構成 4.2 Milgram の構成と単体的手法 4.3 小圏の分類空間 4.4 分類空間として表わされるもの 5. 関手の微積分 5.1 関数と関手 5.2 ホモトピー極限 5.3 ホモトピー関手のテイラー・タワー 6. 何でもモデル圏 6.1 モデル圏とは? 6.2 モデル圏の例 6.3 モデル圏の効用 7. 並列処理とホモトピー 7.1 並列処理 7.2 Progress Graph でのホモトピー 7.3 並列処理とモデル圏 8. 多重ループ空間からオペラッドへ 8.1 オペラッドの起源:多重ループ空間 8.2 オペラッドの定義 8.3 オペラッドの世界の広がり 9. ホモトピー的代数 9.1 代数的構造のホモトピー化 9.2 ホモトピー結合性 9.3 ホモトピー的代数の例 10. 組み合せ論と代数的トポロジー 10.1 組み合せ論とトポロジーの関係 10.2 ポセットとして表せるもの 10.3 グラフからポセットを作る 10.4 組み合せ論的代数的トポロジー 11. 超平面配置と有向マトロイド 11.1 超平面配置とは 11.2 複素ベクトル空間では 11.3 実超平面配置の複素化と有向マトロイド 12. トポロジーと工学 12.1 自律走行ロボットの制御 12.2 センサー・ネットワーク 13. ストリング・トポロジー 13.1 基点自由なループ空間 13.2 曲面とストリング積 14. 高次の圏とホモトピー論 14.1 位相的場の理論 14.2 高次の圏による精密化 14.3 ホモトピー論の役割 Loose End 参考文献 索引