数学所讲座. 2014 Shu xue suo jiang zuo. 2014

1 (p1): 1数学控制论浅谈&张旭 1 (p1-1): 1.1引言 1 (p1-1-1): 1.1.1概述 2 (p1-1-2): 1.1.2控制科学发展简史 4 (p1-1-3): 1.1.3控制科学中的基本问题 6 (p1-1-4): 1.1.4数学控制论 7 (p1-2): 1.2有限维系统控制理论 7 (p1-2-1): 1.2.1有限维系统的能控性 9 (p1-2-2): 1.2.2有限维系统的最优控制 12 (p1-3): 1.3分布参数系统控制理论 13 (p1-3-1): 1.3.1分布参数系统的能控性 18 (p1-3-2): 1.3.2分布参数系统的最优控制 20 (p1-4): 1.4随机有限维系统控制理论 21 (p1-4-1): 1.4.1随机有限维系统的能控性 23 (p1-4-2): 1.4.2随机有限维系统的最优控制 25 (p1-5): 1.5随机分布参数系统控制理论 26 (p1-5-1): 1.5.1随机分布参数系统的能控性 29 (p1-5-2): 1.5.2随机分布参数系统的最优控制 33 (p1-6): 参考文献 39 (p2): 2非负曲率流形与Tits几何&方复全 39 (p2-1): 2.1非负曲率黎曼流形的主要结构定理 40 (p2-2): 2.2非负曲率流形上的反射群 42 (p2-3): 2.3极作用 44 (p2-4): 2.4极作用和房系统 46 (p2-5): 2.5正曲率流形上的极作用 48 (p2-6): 参考文献 50 (p3): 3素数分布与Mobius正交性猜想&刘建亚 50 (p3-1): 3.1轨道上的素数分布 52 (p3-2): 3.2二次型与高次型 53 (p3-3): 3.3 Mobius正交性猜想 55 (p3-4): 3.4远端流 57 (p3-5): 3.5α非丢番图 58 (p3-6): 参考文献 60 (p4): 4度量黎曼几何之旅&戎小春 黄虹智 60 (p4-1): 4.1引言 61 (p4-2): 4.2低维Riemann几何 64 (p4-3): 4.3经典比较Riemann几何 65 (p4-3-1): 4.3.1截面曲率与距离比较 69 (p4-3-2): 4.3.2 Ricci曲率与体积比较 71 (p4-4): 4.4 Gromov-Hausdorff拓扑 75 (p4-5): 4.5度量Riemann几何的进展 75 (p4-5-1): 4.5.1截面曲率两边有界与收敛塌缩理论 77 (p4-5-2): 4.5.2截面曲率有下界与Alexandrov几何 78 (p4-5-3): 4.5.3 Ricci曲率有下界与Cheeger-Colding理论 81 (p4-6): 参考文献 84 (p5): 5局部指标理论简介&张伟平 84 (p5-1): 5.1指标定理简介 84 (p5-1-1): 5.1.1从三角形到流形 88 (p5-1-2): 5.1.2 Gauss-Bonnet-Chern定理与Chern-Weil理论 91 (p5-1-3): 5.1.3 Hirzebruch符号差定理与Hirzebruch-Riemann-Roch定理 93 (p5-1-4): 5.1.4 Atiyah-Singer指标定理 95 (p5-1-5): 5.1.5 McKean-Singer公式 97 (p5-2): 5.2局部指标理论 98 (p5-2-1): 5.2.1局部Gauss-Bonnet-Chern定理 99 (p5-2-2): 5.2.2关于Dirac算子的Atiyah-Singer指标定理 101 (p5-2-3): 5.2.3关于Dirac算子的局部指标定理与η不变量 104 (p6): 6二维拓扑场理论与镜对称&范辉军 104 (p6-1): 6.1前言 109 (p6-2): 6.2黎曼面,曲线模空间和Witten猜想 109 (p6-2-1): 6.2.1黎曼面和曲线模空间 111 (p6-2-2): 6.2.2模空间的紧化以及同义映射 113 (p6-2-3): 6.2.3曲线模空间上的同义环和递归关系 118 (p6-2-4): 6.2.4 KdV可积系统 120 (p6-2-5): 6.2.5相交理论与Witten猜想 122 (p6-2-6): 6.2.6带边黎曼面的模空间与开的KdV可积系统 126 (p6-2-7): 6.2.7评论 126 (p6-3): 6.3卡-丘(CY)流形之间的镜对称现象 126 (p6-3-1): 6.3.1 Candelas, dela Ossa, Green和 Parks的发现 128 (p6-3-2): 6.3.2镜像对称的几何构造 142 (p6-3-3): 6.3.3 Strominger-Yau-Zaslow镜像对称猜想 146 (p6-3-4): 6.3.4非卡-丘模型的SYZ猜想 146 (p6-4): 6.4辛几何与伪全纯曲线模空间(A模型1) 146 (p6-4-1): 6.4.1稳定映射的模空间与Gromov-Witten不变量 149 (p6-4-2): 6.4.2 Kontsevich-Manin公理化体系 151 (p6-4-3): 6.4.3 WDVV方程和量子乘法 160 (p6-5): 6.5复结构形变理论(B模型1) 160 (p6-5-1): 6.5.1一般复流形的形变理论 164 (p6-5-2): 6.5.2卡-丘流形的形变 166 (p6-5-3): 6.5.3紧Kahler流形上Hodge结构的形变与周期域 169 (p6-5-4): 6.5.4三维卡-丘流形上的特殊几何和tt*方程 174 (p6-5-5): 6.5.5 DGBV代数与Frobenius流形 185 (p6-5-6): 6.5.6复结构形变的量子化方法 199 (p6-6): 6.6朗道-金兹堡(LG)模型与更一般的镜对称现象 202 (p6-7): 6.7上同调场论 203 (p6-8): 6.8关于奇点的Saito-Givental量子化理论(B模型2) 203 (p6-8-1): 6.8.1经典的奇点理论 204 (p6-8-2): 6.8.2 Saito平坦结构理论 210 (p6-8-3): 6.8.3本原形式的扰动计算方法 213 (p6-8-4): 6.8.4 Givental形式量子化 229 (p6-9): 6.9 FJRW理论(量子奇点理论)(A模型2) 229 (p6-9-1): 6.9.1状态空间 231 (p6-9-2): 6.9.2虚拟基本圈的构造和穿墙现象 236 (p6-9-3): 6.9.3 FJRW理论的公理体系 239 (p6-10): 6.10 ADE情形广义Witten猜想的解决和整体的镜对称猜想 241 (p6-11): 6.11微分几何途径:Schroedinger方程与LG模型的Hodge理论 242 (p6-11-1): 6.11.1截面-丛系统中的微分算子与超对称代数结构 242 (p6-11-2): 6.11.2谱理论,Hodge定理和Hard Lefschetz定理 244 (p6-11-3): 6.11.3 L2-?f-上同调群的计算 244 (p6-11-4): 6.11.4超位势的形变理论与稳定性定理 245 (p6-11-5): 6.11.5 tt*几何结构 250 (p6-11-6): 6.11.6 tt*几何与Frobenius流形结构(当?→0时) 252 (p6-11-7): 6.11.7进一步的发展 252 (p6-12): 6.12开弦理论简介 253 (p6-12-1): 6.12.1拉格朗日相交的Floer理论 260 (p6-12-2): 6.12.2 Fukaya范畴 268 (p6-12-3): 6.12.3 B理论的范畴化 277 (p6-12-4): 6.12.4同调镜像对称猜想 282 (p6-12-5): 6.12.5进一步的问题 283 (p6-13): 6.13统一理论:规范线性西格玛模型 289 (p6-14): 参考文献 307 (p7): 7拓扑量子态与拓扑电子材料&方忠 307 (p7-1): 7.1简介 308 (p7-1-1): 7.1.1对称性与物态 309 (p7-1-2): 7.1.2准粒子与能带 311 (p7-1-3): 7.1.3拓扑量子态 313 (p7-2): 7.2拓扑不变量 313 (p7-2-1): 7.2.1动量空间 315 (p7-2-2): 7.2.2联络与曲率 317 (p7-2-3): 7.2.3陈数 318 (p7-2-4): 7.2.4 Z2不变量 318 (p7-2-5): 7.2.5磁单极 319 (p7-3): 7.3拓扑量子态 320 (p7-3-1): 7.3.1整数量子霍尔效应(IQHE)/量子反常霍尔效应(QAHE) 321 (p7-3-2): 7.3.2量子自旋霍尔效应(QSHE) 321 (p7-3-3): 7.3.3拓扑绝缘体 322 (p7-3-4): 7.3.4拓扑金属/半金属 323 (p7-4): 7.4拓扑材料 323 (p7-4-1): 7.4.1反带机制 324 (p7-4-2): 7.4.2二维拓扑绝缘体:HgTe量子阱 325 (p7-4-3): 7.4.3三维拓扑绝缘体Bi2Se3、Bi2Te3、Sb2Te3家族 326 (p7-4-4): 7.4.4量子化反常霍尔效应 326 (p7-4-5): 7.4.5 Weyl半金属 327 (p7-4-6): 7.4.6 Dirac半金属 328 (p7-5): 7.5总结 328 (p8): 参考文献