数学分析新讲

上册 前言 目录 预篇 准备知识 1 集合与逻辑记号 2 函数与映射 3 连加符号Σ与连乘符号Π 4 面积、路程与功的计算 5 切线、速度与变化率 第一篇 分析基础 第一章 实数 1 实数的无尽小数表示与顺序 2 实数系的连续性 3 实数的四则运算 4 实数系的基本性质综述 5 不等式 第二章 极限 1 有界序列与无穷小序列 2 收敛序列 3 收敛原理 4 无穷大 附录 斯笃兹(Stolz)定理 5 函数的极限 6 单侧极限 第三章 连续函数 1 连续与间断 2 闭区间上连续函数的重要性质 附录 一致连续性的序列式描述 3 单调函数,反函数 4 指数函数与对数函数,初等函数连续性问题小结 5 无穷小量(无穷大量)的比较,几个重要的极限 第二篇 微积分的基本概念及其应用 第四章 导数 1 导数与微分的概念 2 求导法则,高阶导数 3 无穷小增量公式与有限增量公式 第五章 原函数与不定积分 1 原函数与不定积分的概念 2 换元积分法 3 分部积分法 4 有理函数的积分 5 某些可有理化的被积表示式 第六章 定积分 1 定义与初等性质 2 牛顿-莱布尼兹公式 3 定积分的几何与物理应用,微元法 第七章 微分方程初步 1 概说 2 一阶线性微分方程 3 变量分离型微分方程 4 实变复值函数 5 高阶常系数线性微分方程 6 开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律 中册 目录 第三篇 一元微积分的进一步讨论 第八章 利用导数研究函数 1 柯西中值定理与洛必达法则 2 泰勒(Taylor)公式 3 函数的凹凸与拐点 4 不等式的证明 5 函数的作图 6 方程的近似求解 第九章 定积分的进一步讨论 1 定积分存在的一般条件 2 可积函数类 3 定积分看作积分上限的函数,牛顿-莱布尼兹公式的再讨论 4 积分中值定理的再讨论 5 积分的近似计算 6 瓦利斯公式与司特林公式 第十章 广义积分 1 广义积分的概念 2 牛顿-莱布尼兹公式的推广,分部积分公式与换元积分公式 3 广义积分的收敛原理及其推论 4 广义积分收敛性的一些判别法 第四篇 多元微积分 第十一章 多维空间 1 概说 2 多维空间的代数结构与距离结构 3 Rm中的收敛点列 4 多元函数的极限与连续性 5 有界闭集上连续函数的性质 6 Rm中的等价范数 7 距离空间的一般概念 8 紧致性 9 连通性 10 向量值函数 第十二章 多元微分学 1 偏导数,全微分 2 复合函数的偏导数与全微分 3 高阶偏导数 4 有限增量公式与泰勒公式 5 隐函数定理 6 线性映射 7 向量值函数的微分 8 一般隐函数定理 9 逆映射定理 10 多元函数的极值 第十三章 重积分 1 闭方块上的积分——定义与性质 2 可积条件 3 重积分化为累次积分计算 4 若当可测集上的积分 5 利用变元替换计算重积分的例子 6 重积分变元替换定理的证明 下册 前言 目录 第五篇 曲线、曲面与微积分 第十四章 微分学的几何应用 1 曲线的切线与曲面的切平面 2 曲线的曲率与挠率,弗雷奈公式 3 曲面的第一与第二基本形式 第十五章 第一型曲线积分与第一型曲面积分 1 第一型曲线积分 2 曲面面积与第一型曲面积分 第十六章 第二型曲线积分与第二型曲面积分 1 第二型曲线积分 2 曲面的定向与第二型曲面积分 3 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式 4 微分形式 5 布劳沃尔不动点定理 6 曲线积分与路径无关的条件 7 恰当微分方程与积分因子 第十七章 场论介绍 1 数量场的方向导数与梯度 2 向量场的通量与散度 3 方向旋量与旋度 4 场论公式举例 5 保守场与势函数 附录 正交曲线坐标系中的场论计算 第六篇 级数与含参变元的积分 第十八章 数项级数 1 概说 2 正项级数 3 上、下极限的应用 4 任意项级数 5 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 附录 关于级数乘法的进一步讨论 6 无穷乘积 第十九章 函数序列与函数级数 1 概说 2 一致收敛性 3 极限函数的分析性质 4 幂级数 附录 二项式级数在收敛区间端点的敛散状况 5 用多项式逼近连续函数 附录I 维尔斯特拉斯逼近定理的伯恩斯坦证明 附录II 斯通-维尔斯特拉斯定理 6 微分方程解的存在定理 7 两个著名的例子 第二十章 傅里叶级数 1 概说 2 正交函数系,贝塞尔不等式 3 傅里叶级数的逐点收敛性 4 均方收敛性与帕塞瓦等式,等周问题 5 周期为2l的傅里叶级数,弦的自由振动 6 傅里叶级数的复数形式,傅里叶积分简介 第二十一章 含参变元的积分 1 含参变元的常义积分 2 关于一致收敛性的讨论 3 含参变元的广义积分 4 Г函数与B函数 5 含参变元的积分与函数逼近问题 后记