応用超関数論I・II

はしがき 第I巻 目次 第Il巻 目次 1 序説 §1. 超関数とは §2. 佐藤の超関数 §3. 目標 §4. 複素速度と解析関数 §5. 渦の分布と超関数 §6. ふつうの関数と超関数 2 超関数の演算 §1. 超関数の定義 §2. 線形結合 §3. 超関数と解析関数の積 §4. ふつうの関数を超関数と見直すこと §5. 超関数の微分 §6. 超関数の定積分 §7. まとめ 3 基本的な超関数 §1. はじめに §2. F(-z) を母関数とする超関数 §3. 偶超関数と奇超関数 §4. \bar{F}(z) を母関数とする超関数 §5. 実超関数と虚超関数 §6. 1価解析関数は超関数と見直される §7. Cauchy の主値 §8. f(ax+b) の形の超関数 §9. 超関数と1価解析関数の形式積 §10. H(z), 1(z), sgn z §11. x^{-m}, x^{-m}H(x), x^{-m} sgn x §12. log|x|, log|x|H(x), log|x|sgn x §13. x^{-m}log|x|, x^{-m}log|x|H(x), x^{-m}log|x|sgn x §14. x^{-m}(log|x|)^n, x^{-m}(log|x|)^n H(x), x^{-m}(log|x|)^n sgn x §15. |x|^α, |x|^αH(x), |x|^α sgn x §16. 方程式 φ(x)・f(x)=h(x) §17. まとめ 4 パラメーターを含む超関数 §1. はじめに §2. パラメーターを含む超関数 §3. パラメーターを含む超関数の演算 §4. 関数列の収束と超関数列の収束 §5. |x|^α log|x|, |x|^α log|x|H(x), |x|^α log|x| sgn x §6. |x|^α (log|x|)^n, |x|^α (log|x|)^n H(x), |x|^α (log|x|)^n sgn x §7. x^{-m} (log|x|)^n, x^{-m} (log|x|)^n H(x), x^{-m} (log|x|)^n sgn x §8. ベキ型の超関数 §9. 発散積分の有限部分 §10. pf 積分の計算 §11. まとめ 5 Fourier変換 §1. はじめに §2. Fourier 変換の定義 §3. Fourier 変換に関する定理 §4. Fourier 逆変換 §5. Fourier 変換の計算例 §6. まとめ 6 ベキ型超関数の Fourier 変換 §1. はじめに §2. \mathscr{F} z^α §3. \mathscr{F} |x|^α H(x), \mathscr{F} |x|^α, \mathscr{F} |x|^α sgn x §4. \mathscr{F} |x|^α (log|x|)^n H(x), \mathscr{F} |x|^α (log|x|)^n, \mathscr{F} |x|^α (log|x|)^n sgn x §5. \mathscr{F} x^p (log|x|)^n H(x), \mathscr{F} x^p (log|x|)^n, \mathscr{F} x^p (log|x|)^n sgn x §6. \mathscr{F} x^{-m} (log|x|)^n H(x), \mathscr{F} x^{-m} (log|x|)^n, \mathscr{F} x^{-m} (log|x|)^n sgn x §7. ベキ型超関数の Fourier 変換の表 §8. 多ガンマ関数 §9. 応用例 §10. まとめ 7 上(下)型超関数 §1. はじめに §2. 左(右)超関数と上(下)型超関数 §3. 上(下)型超関数の性質 §4. 上(下)型超関数の計算 §5. 上(下)型超関数の Fourier 変換 §6. 上(下)型のベキ型超関数とその Fourier 変換 §7. 応用例 §8. まとめ 8 Fourier 変換—存在と正則性 §1. はじめに §2. eks α 型の関数および超関数 §3. Fourier 変換が存在するための十分条件 §4. G(ζ)= \mathscr{F} {φ(z) 1_{+} (z)} の ξ 軸上での正則性 §5. 定理の応用例 §6. まとめ 9 Fourier変換―漸近的性質 §1. はじめに §2. Riemann-Lebesgue の定理 §3. 超関数をふつうの関数と見直すこと §4. \mathscr{F} {φ(z) 1_{+} (z)} の漸近的性質 §5. Riemann-Lebesgue の定理の拡張 §6. ψ(|x|) とベキ型超関数の形式積 §7. \mathscr{F} [φ(x)]_± の漸近的性質 §8. 上(下)超関数と左(右)超関数 §9. \mathscr{F}f'(x) から \mathscr{F}f(x) へ §10. まとめ 10 周期超関数と Fourier 級数 §1. はじめに §2. 標準母関数 §3. 標準母関数をもつ超関数 §4. 周期超関数 §5. 超関数の Fourier 級数 §6. 周期超関数の Fourier 変換 §7. δ関数列と階段関数 §8. Fourier 級数の計算 §9. 上(下)超関数の Fourier 級数 §10. Fourier 係数 c_n |n| -> ∞ でのふるまい §11. 左(右)階段関数と左(右)δ関数列 §12. まとめ 11 超関数の解析接続,射影 §1. はじめに §2. 射影 §3. 解析接続 §4. 一般δ関数 §5. 標準超関数 §6. 射影の定義の拡張 §7. 射影に関する定理 §8. 発散積分の有限部分 §9. まとめ 12 超関数の積 §1. はじめに §2. 超関数の積 §3. 超関数の積の定積分 §4. 超関数の積の母関数 §5. pf \int_a^b (x-a)^α (b-x)^β dx §6. 上(下)型超関数どうしの積 §7. 上(下)型超関数の関数 §8. 超関数の積の種類 §9. まとめ 13 超関数のたたみこみ §1. はじめに §2. たたみこみ―ふつうの関数と超関数 §3. たたみこみ―超関数と超関数 §4. たたみこみの定義 §5. 基本的なたたみこみ §6. たたみこみの基本的性質 §7. たたみこみの計算 §8. たたみこみが存在するための十分条件 §9. 左(右)超関数どうしのたたみこみ §10. 上(下)型超関数のたたみこみ §11. たたみこみの Fourier 変換 §12. 積の Fourier 変換 §13. 超関数の値と無限主値積分 §14. Parseval の定理 §15. まとめ 14 周期超関数のたたみこみ §1. はじめに §2. たたみこみの定義の拡張 §3. Poisson の和公式 §4. 周期超関数のたたみこみ §5. Fourier 展開 §6. 周期超関数どうしのたたみこみ §7. まとめ 15 Hilbert 変換,共役超関数 §1. はじめに §2. Hilbert 変換 §3. 共役超関数の性質 §4. 共役 Fourier 級数 §5. Hilbert 変換の計算 §6. Hilbert 変換の公式 §7. 標準型母関数 §8. Hilbert 型変換 §9. まとめ 16 Poisson-Schwarz の積分公式 §1. はじめに §2. 半平面に関する Poisson-Schwarz の積分公式 §3. 円に関する Poisson-Schwarz の積分公式 §4. Poisson-Schwarz の積分公式の一般化 §5. Riemann-Hilbert の問題 §6. Hilbert 変換に関連する積分方程式 §7. \int_{-∞}^∞ f(t)(t-x)^{-1}dt = g(x) §8. \int_0^∞ f(t)(t-x)^{-1}dt = g(x), x>0 §9. \int_a^b f(t)(t-x)^{-1}dt = g(x), a