那些年你没学明白的数学 : 攻读研究生必知必会的数学

1 (p1): 主题概要 1 (p1-1): 0.1线性代数 1 (p1-2): 0.2实分析 1 (p1-3): 0.3向量值函数的微积分 2 (p1-4): 0.4点集拓扑 2 (p1-5): 0.5经典Stokes定理 2 (p1-6): 0.6微分形式和Stokes定理 2 (p1-7): 0.7曲线和曲面的曲率 3 (p1-8): 0.8几何学 3 (p1-9): 0.9复分析 4 (p1-10): 0.10可数性和选择公理 4 (p1-11): 0.11代数 4 (p1-12): 0.12勒贝格积分 4 (p1-13): 0.13傅里叶分析 5 (p1-14): 0.14微分方程 5 (p1-15): 0.15 组合学和概率论 5 (p1-16): 0.16算法 6 (p2): 第1章 线性代数 6 (p2-1): 1.1介绍 7 (p2-2): 1.2基本向量空间Rn 9 (p2-3): 1.3向量空间和线性变换 11 (p2-4): 1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换 13 (p2-5): 1.5行列式 17 (p2-6): 1.6线性代数基本定理 18 (p2-7): 1.7相似矩阵 19 (p2-8): 1.8特征值和特征向量 24 (p2-9): 1.9对偶向量空间 25 (p2-10): 1.10推荐阅读 25 (p2-11): 1.11练习 27 (p3): 第2章ε和δ实分析 27 (p3-1): 2.1极限 29 (p3-2): 2.2连续性 30 (p3-3): 2.3微分 31 (p3-4): 2.4积分 34 (p3-5): 2.5微积分基本定理 36 (p3-6): 2.6函数的点态收敛 38 (p3-7): 2.7一致收敛 40 (p3-8): 2.8 Weierstrass M判别法 41 (p3-9): 2.9 Weierstrass的例子 45 (p3-10): 2.10推荐阅读 45 (p3-11): 2.11练习 47 (p4): 第3章向量值函数的微积分 47 (p4-1): 3.1向量值函数 48 (p4-2): 3.2向量值函数的极限和连续性 49 (p4-3): 3.3微分和Jacobi矩阵 52 (p4-4): 3.4反函数定理 53 (p4-5): 3.5隐函数定理 56 (p4-6): 3.6推荐阅读 57 (p4-7): 3.7练习 59 (p5): 第4章 点集拓扑 59 (p5-1): 4.1基础定义 61 (p5-2): 4.2 Rn上的标准拓扑 67 (p5-3): 4.3度量空间 68 (p5-4): 4.4拓扑基 69 (p5-5): 4.5交换环的Zariski拓扑 71 (p5-6): 4.6推荐阅读 72 (p5-7): 4.7练习 74 (p6): 第5章 经典Stokes定理 75 (p6-1): 5.1关于向量微积分的准备工作 75 (p6-1-1): 5.1.1向量场 76 (p6-1-2): 5.1.2流形和边界 78 (p6-1-3): 5.1.3路径积分 81 (p6-1-4): 5.1.4曲面积分 83 (p6-1-5): 5.1.5梯度 83 (p6-1-6): 5.1.6散度 84 (p6-1-7): 5.1.7旋度 84 (p6-1-8): 5.1.8可定向性 85 (p6-2): 5.2散度定理和Stokes定理 87 (p6-3): 5.3散度定理的物理解释 88 (p6-4): 5.4 Stokes定理的物理解释 89 (p6-5): 5.5散度定理的证明梗概 91 (p6-6): 5.6 Stokes定理的证明梗概 94 (p6-7): 5.7推荐阅读 94 (p6-8): 5.8练习 96 (p7): 第6章 微分形式和Stokes定理 96 (p7-1): 6.1平行六面体的体积 99 (p7-2): 6.2微分形式和外导数 100 (p7-2-1): 6.2.1初等k-形式 102 (p7-2-2): 6.2.2 k-形式的向量空间 103 (p7-2-3): 6.2.3处理k-形式的准则 106 (p7-2-4): 6.2.4微分k-形式和外导数 108 (p7-3): 6.3微分形式和向量场 110 (p7-4): 6.4流形 115 (p7-5): 6.5切空间和定向 115 (p7-5-1): 6.5.1隐式和参数化流形的切空间 116 (p7-5-2): 6.5.2抽象流形的切空间 117 (p7-5-3): 6.5.3向量空间的定向 118 (p7-5-4): 6.5.4流形和它的边界的定向 119 (p7-6): 6.6流形上的积分 121 (p7-7): 6.7 Stokes定理 123 (p7-8): 6.8推荐阅读 124 (p7-9): 6.9练习 126 (p8): 第7章 曲线和曲面的曲率 126 (p8-1): 7.1平面曲线 128 (p8-2): 7.2空间曲线 132 (p8-3): 7.3曲面 135 (p8-4): 7.4 Gauss-Bonet定理 136 (p8-5): 7.5推荐阅读 137 (p8-6): 7.6练习 139 (p9): 第8章 几何学 140 (p9-1): 8.1欧式几何 141 (p9-2): 8.2双曲几何 143 (p9-3): 8.3椭圆几何 144 (p9-4): 8.4曲率 145 (p9-5): 8.5推荐阅读 145 (p9-6): 8.6练习 147 (p10): 第9章 复分析 148 (p10-1): 9.1解析函数 149 (p10-2): 9.2柯西-黎曼方程 153 (p10-3): 9.3复变函数的积分表示 159 (p10-4): 9.4解析函数的幂级数表示 162 (p10-5): 9.5保角映射 164 (p10-6): 9.6黎曼映射定理 165 (p10-7): 9.7多复变数:哈托格斯定理 167 (p10-8): 9.8推荐阅读 167 (p10-9): 9.9练习 170 (p11): 第10章 可数性和选择公理 170 (p11-1): 10.1可数性 173 (p11-2): 10.2朴素集合论与悖论 175 (p11-3): 10.3选择公理 176 (p11-4): 10.4不可测集 177 (p11-5): 10.5哥德尔和独立性证明 178 (p11-6): 10.6推荐阅读 178 (p11-7): 10.7练习 180 (p12): 第11章 代数 180 (p12-1): 11.1群 185 (p12-2): 11.2表示论 187 (p12-3): 11.3环 188 (p12-4): 11.4域和迦罗瓦理论 193 (p12-5): 11.5推荐阅读 193 (p12-6): 11.6练习 195 (p13): 第12章 勒贝格积分 195 (p13-1): 12.1勒贝格测度 197 (p13-2): 12.2康托集 199 (p13-3): 12.3勒贝格积分 201 (p13-4): 12.4收敛理论 202 (p13-5): 12.5推荐阅读 202 (p13-6): 12.6练习 204 (p14): 第13章 傅里叶分析 204 (p14-1): 13.1波函数,周期函数和三角学 205 (p14-2): 13.2傅里叶级数 210 (p14-3): 13.3收敛问题 211 (p14-4): 13.4傅里叶积分和变换 214 (p14-5): 13.5求解微分方程 216 (p14-6): 13.6推荐阅读 216 (p14-7): 13.7练习 218 (p15): 第14章 微分方程 218 (p15-1): 14.1基本知识 219 (p15-2): 14.2常微分方程 222 (p15-3): 14.3拉普拉斯算子 222 (p15-3-1): 14.3.1平均值原理 224 (p15-3-2): 14.3.2变量分离 225 (p15-3-3): 14.3.3在复分析上的应用 226 (p15-4): 14.4热传导方程 228 (p15-5): 14.5波动方程 228 (p15-5-1): 14.5.1来源 231 (p15-5-2): 14.5.2变量代换 233 (p15-6): 14.6求解失败:可积性条件 235 (p15-7): 14.7 Lewy的例子 235 (p15-8): 14.8推荐阅读 236 (p15-9): 14.9练习 237 (p16): 第15章 组合学和概率论 237 (p16-1): 15.1计数 238 (p16-2): 15.2概率论基础 240 (p16-3): 15.3独立性 241 (p16-4): 15.4期望和方差 243 (p16-5): 15.5中心极限定理 248 (p16-6): 15.6n!的Stirling近似 252 (p16-7): 15.7推荐阅读 252 (p16-8): 15.8练习 254 (p17): 第16章 算法 254 (p17-1): 16.1算法和复杂度 255 (p17-2): 16.2图:欧拉和哈密顿回路 257 (p17-3): 16.3排序和树 260 (p17-4): 16.4 P=NP? 261 (p17-5): 16.5数值分析:牛顿法 266 (p17-6): 16.6推荐阅读 266 (p17-7): 16.7练习 268 (p18): 附录 等价关系 270 (p19): 参考文献 封面 书名 版权 前言 目录 主题概要 0.1线性代数 0.2实分析 0.3向量值函数的微积分 0.4点集拓扑 0.5经典Stokes定理 0.6微分形式和Stokes定理 0.7曲线和曲面的曲率 0.8几何学 0.9复分析 0.10可数性和选择公理 0.11代数 0.12勒贝格积分 0.13傅里叶分析 0.14微分方程 0.15 组合学和概率论 0.16算法 第1章 线性代数 1.1介绍 1.2基本向量空间Rn 1.3向量空间和线性变换 1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换 1.5行列式 1.6线性代数基本定理 1.7相似矩阵 1.8特征值和特征向量 1.9对偶向量空间 1.10推荐阅读 1.11练习 第2章ε和δ实分析 2.1极限 2.2连续性 2.3微分 2.4积分 2.5微积分基本定理 2.6函数的点态收敛 2.7一致收敛 2.8 Weierstrass M判别法 2.9 Weierstrass的例子 2.10推荐阅读 2.11练习 第3章向量值函数的微积分 3.1向量值函数 3.2向量值函数的极限和连续性 3.3微分和Jacobi矩阵 3.4反函数定理 3.5隐函数定理 3.6推荐阅读 3.7练习 第4章 点集拓扑 4.1基础定义 4.2 Rn上的标准拓扑 4.3度量空间 4.4拓扑基 4.5交换环的Zariski拓扑 4.6推荐阅读 4.7练习 第5章 经典Stokes定理 5.1关于向量微积分的准备工作 5.1.1向量场 5.1.2流形和边界 5.1.3路径积分 5.1.4曲面积分 5.1.5梯度 5.1.6散度 5.1.7旋度 5.1.8可定向性 5.2散度定理和Stokes定理 5.3散度定理的物理解释 5.4 Stokes定理的物理解释 5.5散度定理的证明梗概 5.6 Stokes定理的证明梗概 5.7推荐阅读 5.8练习 第6章 微分形式和Stokes定理 6.1平行六面体的体积 6.2微分形式和外导数 6.2.1初等k-形式 6.2.2 k-形式的向量空间 6.2.3处理k-形式的准则 6.2.4微分k-形式和外导数 6.3微分形式和向量场 6.4流形 6.5切空间和定向 6.5.1隐式和参数化流形的切空间 6.5.2抽象流形的切空间 6.5.3向量空间的定向 6.5.4流形和它的边界的定向 6.6流形上的积分 6.7 Stokes定理 6.8推荐阅读 6.9练习 第7章 曲线和曲面的曲率 7.1平面曲线 7.2空间曲线 7.3曲面 7.4 Gauss-Bonet定理 7.5推荐阅读 7.6练习 第8章 几何学 8.1欧式几何 8.2双曲几何 8.3椭圆几何 8.4曲率 8.5推荐阅读 8.6练习 第9章 复分析 9.1解析函数 9.2柯西-黎曼方程 9.3复变函数的积分表示 9.4解析函数的幂级数表示 9.5保角映射 9.6黎曼映射定理 9.7多复变数:哈托格斯定理 9.8推荐阅读 9.9练习 第10章 可数性和选择公理 10.1可数性 10.2朴素集合论与悖论 10.3选择公理 10.4不可测集 10.5哥德尔和独立性证明 10.6推荐阅读 10.7练习 第11章 代数 11.1群 11.2表示论 11.3环 11.4域和迦罗瓦理论 11.5推荐阅读 11.6练习 第12章 勒贝格积分 12.1勒贝格测度 12.2康托集 12.3勒贝格积分 12.4收敛理论 12.5推荐阅读 12.6练习 第13章 傅里叶分析 13.1波函数,周期函数和三角学 13.2傅里叶级数 13.3收敛问题 13.4傅里叶积分和变换 13.5求解微分方程 13.6推荐阅读 13.7练习 第14章 微分方程 14.1基本知识 14.2常微分方程 14.3拉普拉斯算子 14.3.1平均值原理 14.3.2变量分离 14.3.3在复分析上的应用 14.4热传导方程 14.5波动方程 14.5.1来源 14.5.2变量代换 14.6求解失败:可积性条件 14.7 Lewy的例子 14.8推荐阅读 14.9练习 第15章 组合学和概率论 15.1计数 15.2概率论基础 15.3独立性 15.4期望和方差 15.5中心极限定理 15.6n!的Stirling近似 15.7推荐阅读 15.8练习 第16章 算法 16.1算法和复杂度 16.2图:欧拉和哈密顿回路 16.3排序和树 16.4 P=NP? 16.5数值分析:牛顿法 16.6推荐阅读 16.7练习 附录 等价关系 参考文献 封底